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Aussagen

Aussagen sind Sätze, von denen man sinnvollerweise sagen kann, dass sie wahr oder falsch sind.

Verknüpfungen

Verknüpfungen nennt man auch Konnektoren. Sie verbinden Aussagen zu neuen Aussagen.

Konnektoren sind:

Und

$A \wedge B$

BRDie Aussage ist wahr wenn A wahr ist und B wahr ist.

Oder

$A  \vee  B$

BRDie Aussage ist wahr wenn A wahr ist und/oder wenn B wahr ist.

Nicht

$\neg  A$

BRDie Aussage ist wahr wenn A falsch ist.

Implikation ("Wenn A dann B")

$ A \Rightarrow B$

BRDie Aussage ist wahr wenn A und B wahr sind und wenn A falsch ist. A heist Prmisse B heist Conclusio.

Wahrheitstafel

Beispiele

In der Aussage "Wenn die Sonne scheint, gehen wir spazieren" ist A die Vorraussetzung das "die Sonne scheint" und "spazieren gehen" die Folge der Vorraussetzung B.

• Scheint nun die Sonne und wir gehen spazieren, so ist die Gesamtaussage wahr. Scheint die Sonne nicht und wir gehen nicht spazieren, so bleibt die Aussage wahr. Es wurde ja keine Aussagenregel verletzt. Scheint die Sonne aber und wir gehen nicht spazieren, so ist die Aussage falsch. Die gemachte Aussage trifft nicht zu. Scheint die Sonne nicht und wir gehen trozdem spazieren, so ist die Aussage wahr. Es wurde ja nicht gesagt was passiert wenn die Sonne nicht scheint.

Äuivalenz ("A genau dann wenn B")

$A  \Longleftrightarrow  B$

BRDie Aussage ist wahr wenn A und B wahr sind und wenn A und B falsch sind.

Quantoren

Quantoren erweitern Aussagen um Angaben wie "alle", "es existiert ein". Einfache Aussagen mssen hier (im Sinne der PredikatenLogik) erweitert werden:

• Individualkonstanten, z.B. s für Sokrates.
• Individualvariablen, z.B. x. Der Wert dieser Variable kann alles Benennbare sein.
• Prdikate, d.h. Aussagen in der Form P(x) , z.B. S für "stark sein", p für Peter; S(p) = Peter ist stark. Es gibt verschiedenwertige Prdikate.

Allquantor

$\forall x \rightarrow P\left(x\right)$

BRFür alle x gilt P(x).

Existenzquantor

$\exists x : P\left(x\right)$

BREs existiert ein x so das P(x) gilt.

Bindungspriorität

Die Bindungspriorität von Quantoren und Konnektoren von stark nach schwach geordnet:

$\neg , \forall , \exists$

$\wedge , \vee$

$\Rightarrow ,  \Longleftrightarrow$

Die Bindungspriorität kann durch Klammerung wiedergegeben werden.

Beispiele

$\forall x\left(x\in N\Rightarrow\left(x\, mod\,6=0\Rightarrow x\, mod\,3=0\right)\right)$

BR, oder krüzer

$\forall x\in N\left(x\, mod\,6=0\Rightarrow x\, mod\,3=0\right)$

Alle Menschen sind sterblich:

$\forall x\left(human\left(x\right)\Rightarrow mortal\left(x\right)\right)$

Ein alter Mann schläft:

$\exists x\left(man\left(x\right)\wedge old\left(x\right)\wedge sleep\left(x\right)\right)$

Fred gibt Peter kein Buch:

$\neg\left(\exists x\left(buch\left(x\right)\wedge gibt\left(f,p,x\right)\right)\right)$

Komplexes Beispiel:
Es gibt unendlich viele Primzahlenzwillinge, d.h. Primzahlen p₁ , p₂ , so dass p₁ - p₂ = 2 ist.

$\forall p_{1},p_{2}\exists p_{3},p_{4}\left(przz\left(p_{1},p_{2}\right)\wedge przz\left(p_{3},p_{4}\right)\wedge p_{1}\neq p_{2}\wedge p_{3}>p_{1}\right) \wedge\left(przz\left(p_{1},p_{2}\right) \Longleftrightarrow \left(prim\left(p_{1}\right)\wedge prim\left(p_{2}\right)\wedge p_{1}-p_{2}=2\right)\right) \wedge\left(prim\left(p\right)\Longleftrightarrow\left(p\in N\wedge\forall q\in N\left(p/q\in N\Rightarrow\left(q=1\vee q=p\right)\right)\right)\right)$

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