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Boolsche Verbände

Sind Verbände die in denen nur 1 und 0 als Werte existieren.

Disjunktive Normalform

Um die Disjunktive Normalform einer Boolschen Funktion zu erhalten, prüft man als erstes, mit welchen Werten (Null und Eins für jede Variable) sich das Ergebnis Eins erzielen lässt. Dann kann man jede einzelne Ergebnismöglichkeit mit

        $\vee $

verknüpfen. Die einzelnen Variablen werden mit

        $\wedge $

verknüpft. Um eine Eins zu kennzeichnen wird einfach die Variable hingeschrieben, für eine Null schreibt man die Variable mit einem Strich drüber (komplementär). Ein Beispiel: Die Boolsche Funktion

        $f_\left(x,y,z\right)=x\wedge \left(\overline{y} \vee  \overline{z}\right)$

ergibt mit folgenden Werten Eins.

        $\left(x,y,z\right)=\left(1,0,0\right),\left(1,0,1\right),\left(1,1,0\right)$

Also lautet die Disjunktive Normalform

        $f_\left(x,y,z\right)=\left(x \wedge \overline{y} \wedge \overline{z} \right) \vee \left(x \wedge y \wedge \overline{z} \right) \vee \left( x \wedge \overline{y} \vee z \right)$

NAND Funktionen

Dank der Disjunkten Normalform kann jede Boolsche Funktion nur mit

        $\vee $

und

        $\wedge $

ausgedrückt werden. Da aber

        $x\vee y=\overline{\overline{x}\wedge \overline{y}}$

und

        $\overline{x}=\overline{x} \wedge x$

und somit

        $x \vee y=\overline{\overline{x}\wedge y \wedge \overline{x} \wedge y}$

kann jede Boolsche Funktion sogar nur mit NAND-Schaltungen realisiert werden. Beim Umwandeln von einer Funktion in eine durch NAND Funktionen beschriebene, sollte man als erstes die Disjunkte Normalform bilden, und dann die

        $\vee $

Verknüpfungen durch die oben genannte Schreibweise ersetzen.

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