Modellierung durch partielle Differentialgleichungen

Definition

Eine Differentialgleichung beschreibt stets einen Zusammenhang zwischen einer Größe und ihrer Veränderung (Ableitung).

Bei partiellen Differentialgleichungen (pDGl) tauchen Ableitungen nach verschiedenen unabhängigen Größen auf, im allgemeinen Zeit und/oder Raumrichtungen.

Algorithmen

Im allgemeinen werden die von mehreren Variablen abhängigen Funktionen (nämlich von so vielen, wie Ableitungsrichtungen in der pDGl stehen) an einzelnen Punkten bestimmt (Diskretisierung der Funktion). Die Schwierigkeit beim Lösen pDGl'en liegt in der großen Anzahl von Unbekannten: Tauchen beispielsweise Ableitungen in alle drei Raumrichtungen und keine zeitlichen auf, so ist zur Bestimmung der gesuchten Funktion ein dreimensionales Gitter notwendig, bei Diskretisierung jeder Raumrichtung innPunkte schonn³ zu bestimmende Unbekannte. Zu Modellierungszwecken hinreichend feine Auflösungen erfordern daher Rechenzeiten von mehreren Stunden (bis Tagen) auf größeren Rechner-Clustern. Für einfache Probleme werdenfinite Differenzenverwendet;finite Elementesind das Standardwerkzeug der Ingenieurswissenschaften für partielle Differentialgleichungen. Sie erlauben es, den beim Lösen der pDGl erzeugten Fehler abzuschätzen und das Rechengitter ggf. lokal zu verfeinern. Zur effizienten Lösung werden Algorithmen eingesetzt, die zunächst auf gröberen Gittern beginnen, um danach ihre Auflösung sukzessive zu verfeinern (Mehrskalenverfahren), zu ihnen gehörenMulti-Grid- undWavelet-Löser. pDGl'en sind höchst aktiver Bereich der mathematischen Forschung und ein wesentlich weniger "abgeschlossenes" Gebiet als gDGl'en. Literatur: Deuflhardt, Bornemann: Numerische Mathematik II. De Gruyter.

Beispiele

• sämtliche Probleme der Strömungsmechanik:
  • Schadstoffdiffusion in Boden und Grundwasser
  • Windkanal-Simulation in der Automobilentwicklung
• lokal verteilte Populationen:
  • räumliche Epidemie-Ausbreitung
  • Bakterienwachstum

Vorteile

• sehr große Allgemeinheit
• im Gegensatz zu gDGl'en auch räumlich verteiltes Verhalten modellierbar

Nachteile

• sehr wenig bis gar nicht standardisierte Lösungs-Software

• KategorieKnotenUndKanten (bitte diese Kategorie auf alle zum Knoten-und-Kanten-Wiki zugehörigen Seiten setzen)