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Konvergenzkriterien
Es gibt fünf Konvergenzkriterien, mit denen man überprüfen kann, ob eine Reihe konvergiert, oder divergiert. Auch muss die zur Reihe gehörige Folge eine Nullfolge sein, sonst divergiert die Reihe automatisch.
Majorantenkriterium
Das Majorantenkriterium kann eingesetzt werden, wenn eine Folge, von der man weiss, dass sie Konvergent ist, grösser ist, als die Folge der Reihe die es zu untersuchen gilt. In der Anwendung wird also gezeigt, dass die Folge der zu untersuchenden Reihe kleiner ist, als die bekannte Konvergente Folge. Dann muss man noch zeigen, das beide Folgen grösser Null sind, und schon hat man die zur gesuchten Reihe gehörige Folge zwischen Null und der bekannten Konvergenten Folge eingeschlossen. So folgt auch die Konvergenz der Reihe.
Minorantenkriterium
Das Minorantenkriterium ist ähnlich dem Majorantenkriterium, nur das sich die Divergenz beweisen lässt. Dies kann man tun indem man eine bekannte Divergente Folge findet die grösser Null aber kleiner als die zur Reihe gehörige Folge ist. Divergiert also schon die kleinere Folge, so muss natürlich jede Folge, die grösser als diese ist, auch Divergieren, deshalb folgt die Divergenz der Reihe.
Wurzelkriterium
Das Wurzelkriterium wird oft angewandt, wenn die Reihe hohe Potenzen aufweist, z.B. :
$\sum _{n=1}^{\infty }\left(2+\frac{1}{n}\right)^{n}$BRBerechnet wird dann einfach der Limes n gegen unendlich von der n-ten Wurzel aus der zur Reihe gehörigen Folge. Bei dem Beispiel:
$\lim _{n\rightarrow \infty }\sqrt[n]{\left(2+\frac{1}{n}\right)^{n}}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(2+\frac{1}{n}\right)=2$BRIst der berechnete wert kleiner als 1 so konvergiert die Reihe, ist er grösser, wie in dem Beispiel, so divergiert sie. Sollte der Wert genau 1 betragen, so kann mit dem Wurzelkriterium keine Aussage getroffen werden.
Quotientenkriterium
Das Quotientenkriterium ist besonders gut um Konvergenz/Divergenz von Reihen mit Fakultäten zu beweisen
(z.B. $\sum _{n=1}^{\infty }3n!$)BRDazu berechnet man den Limes n gegen Unendlich von der zur Reihe gehörigen Folge mit n + 1 geteilt durch die Folge mit n:
$ \left.\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right. $Hier:
$\lim _{n\rightarrow \infty }\frac{3\left(n+1\right)!}{3n!}=\lim _{n\rightarrow \infty }\frac{3\cdot 1\cdot 2\cdot ...\cdot n\cdot n+1}{3\cdot 1\cdot 2\cdot ...\cdot n}=\lim _{n\rightarrow \infty }\frac{n+1}{1} $BRwelches in's unendliche wächst. Ist der berechnete Wert kleiner als 1 so konvergiert die Reihe, ist er grösser, wie in dem Beispiel, so divergiert sie. Sollte der Wert genau 1 betragen, so kann mit dem Quotientenkriterium keine Aussage getroffen werden.
Leibniz-Kriterium
Das Leibniz-Kriterium findet nur Anwendung bei Alternierenden Reihen wie z.B.
$\sum _{n=1}^{\infty }\left(-1\right)^{n-1}\cdot \frac{1}{n^{2}}$)BRIst die zur Reihe gehörige Folge (hier:
$\frac{1}{n^{2}}$) eine monoton fallende Nullfolge, so konvergiert die Reihe, andernfallsnicht.
Potenzreihen
Potenzreihen sind Reihen bei denen die Folge auch noch von einer reellen Zahl x abhängt.
Konvergenzradius von Potenzreihen bestimmen:
Den Konvergenzradius einer Potenzreihe bestimmt man mit der Formel von CauchyHadamard (
$\frac{1}{lim_{n\rightarrow \infty }\: \sqrt[n]{|a_{n}|}}=R$). Natürlich nur, wenn der Limes überhaupt existiert und ungleich Null ist. Der Radius ist also recht einfach anhand einer Formel zu bestimmen, jedoch müssen die Randpunkte, also die Grenzen in denen die Potenzreihe Konvergent ist, gesondert betrachtet werden. Dies kann man bewerkstelligen, indem man die untere bzw. obere Grenze in die Potenzreihe einsetzt und überprüft, ob die daraus entstandene Reihe konvergent oder divergent ist. Ist sie Konvergent, so befindet sich der Randpunkt noch innerhalbdes Konvergenzradiuses der Potenzreihe. Andernfalls nicht. Üblicherweise gibt man den Radius in Intervallschreibweise an.