Binomische Formel:

Die Allgemeine Binomische Formel:

        $\left(x+y\right)^{n}=\sum _{k=0}^{n}\left(_{k}^{n}\right)x^{n-k}y^{k}$

Umindizieren von Summen:

Beim Uminizieren von Summen kommt es drauf an, dass die Teile der Summe die man durch das hinzufügen von Indizes schaft, anschließend wieder abzieht.

Ein Beispiel: die Summe

        $\sum _{k=2}^{n}\: x^{k}$

BR(d.h. x² + x³+ ... + xⁿ) soll auf k = 0 gebracht werden. Dazu schreibt man einfach

        $\sum _{k=0}^{n}\: x^{k}$

BR(d.h. x⁰ + x¹ + x² + ... + xⁿ) und schaut nach, was jezt noch an der neuen Summe geändert werden muss, um zwischen der Ersten und der Ausgedachten ein gleich schreiben zu können. Die Summe mit k = 0 hat zwei Additionen mehr, als die mit k = 2, nämlich x^0^ und x¹. Nun ist nichts weiter zu tun, als diese beiden Summanten wieder abzuziehen. Man erhält

        $\sum _{k=0}^{n}\: x^{k}-x^{0}-x^{1}$

BRGenauso kann man natürlich auch das n ändern. Soll zum Beispiel bis n + 3 addiert werden, werden drei weitere Summanten erzeugt:

        $x^{n+1},\: x^{n+2}$

BRund

        $x^{n+3}$

BRwelche anschliessend wieder abgezogen werden müssen. Die Summe würde dann so aus sehen:

        $\sum _{k=2}^{n+3}\: x^{k}-x^{n+1}-x^{n+2}-x^{n+3}$

Binominalkoefizienten ausrechnen:

Um einen Binominalkoeffizienten ausrechnen zu können braucht man die Formel

        $\left(_{k}^{n}\right)=\frac{n!}{k!\cdot (n-k)!}$

BRSobalt man die Zahlen eingesetz hat, wird einfach gekürzt, bis es sich ausrechnen lässt. Anfangs ist es hilfreich sich die Fakultäten ausführlich hinzuschreiben:

        $\left(_{2}^{4}\right)=\frac{4!}{2!\cdot (4-2)!}=\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}{1\cdot 2\cdot 1\cdot 2}=\frac{3\cdot 4}{2}=6$

Abschätzen mit Ungleichungen:

Beim Abschätzen sucht man kleinere oder grössere Formeln als die vorhandene. Hat man z.B. die Formel

        $$\frac{\sqrt{2}x}{x^{3}-4}$$

BRso kann man kleinere und grössere Zahlen zu ihr finden. Um das zu erreichen, versucht man entweder Nenner oder Zähler so zu verändern, das die Zahl definitiv mit einem > oder < Zeichen zu der Orginalzahl steht. Eine kleinere Zahl als die in unserem Beispiel könnte man erhalten, in dem man das

        $\sqrt{2}$

BRweglässt (verkleinern des Zählers) oder aus -4 einfach +4 macht (vergrössern des Nenners). Der Trick ist, so geschickt zu verändern, das die Zahl einfacher wird, damit man eindeutigere Aussagen über sie machen kann.

Z.B. wäre es klug, den Zähler und Nenner so zu verändern, das sich kürzen lässt:

        $\frac{\sqrt{2}x}{x^{3}-4}>\frac{x}{x^{3}-4}>\frac{x}{x^{3}}=\frac{1}{x^{2}}$

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