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Intervallschreibweise

Mit hilfe der Intervallschreibweise lässt sich einfach angeben ob ein Randpunkt noch zu einer Menge Gehört, oder nicht. Die Menge selbst steht innerhalb eckiger Klammern. Ist die Klammer nach aussen gekehrt, so befindet sich der Randpunkt nicht mehr innerhalb der Menge. Nach innen gekehrt zeigt dann an, das der Randpunkt ein Teil der Menge ist. Zum Beispiel

        $x\in [2,5[$

heißt: x ist ein Wert zwischen 2 und 5. jedoch 5 selbst nicht mehr, aber 2. Das selbe lässt sich auch mit einer Ungleichung ausdrücken:

        $2\leq x<5$

.

Supremum und Maximum bestimmen

Das Supremum ist die kleinste obere Schranke einer Menge. Also muss man als erstes diese durch abschätzen nach oben finden, womit die Vorraussetzung, das es eine obere Schranke ist, schon erfüllt wäre. Es bleibt nurnoch zu zeigen, das keine kleinere existiert. Dies kann man einfach durch das aufzeigen eines Elementes der Menge erreichen, welches grösser als die gefundene Schranke minus einer winzigen Zahl ist. Als Formel sieht das ganze dann so aus:

        $a>S-\varepsilon \qquad mit\: a\in I\! \! M,\: \varepsilon >0\: und\: S=Supremum$

. Ist das Supremum innerhalb der Menge, so heisst es auch Maximum.

Infimum und Minimum bestimmen

Das Minimum ist die kleinste untere Schranke einer Menge. Wie beim Supremum muss man als erstes durch abschätzen eine Schranke finden, jedoch diesmal nach unten, um eine untere Begrenzung zu aufzeigen zu können. Weiterhin darf keine Schranke grösser sein, als die gefundene. Um das zu Beweisen sucht man ein Element der Menge, welches kleiner als die gefundene Schranke plus einer winzigen Zahl ist. Als Formel sieht das ganze dann so aus:

        $a<I+\varepsilon \qquad mit\: a\in I\! \! M,\: \varepsilon >0\: und\: I=Infimum$

. Ist das Infimum innerhalb der Menge, so heisst es auch Minimum.

Monotonie

Die Funktion f heisst monoton wachsend, wenn aus x > y folgt:

        $f_{\left(x\right)}\geq f_{\left(y\right)}$

. Fallend nennt man sie, wenn

        $f_{\left(x\right)}\leq f_{\left(y\right)}$

folgt. Streng Fallend bzw. Wachsend sind alle Funktionen, aus denen nicht ein grösser bzw. kleiner gleich sondern ein echtes ungleich Folgt.Auch kann die Monotonie mit hilfe der 1. Ableitung bestimmt werden. Dazu rechnet man einfach den Funktionswert an der Stelle x aus. Ist das Ergebnis

        $\geq 0$

so folgt das die Funktion Monoton wachsend im Punkt x ist. Bei einem Ergebiniss

        $\leq 0$

ist die Funktion monoton fallend in diesem Punkt x. Echte grösser/kleiner zeichen folgt Strenge Monotonie.

Injektiv

Eine Funktion ist Injektiv, wenn jeder Funktionswert einen anderen x Wert besitzt. Dies kann einfach gezeigt werden, indem man die Funktion mit der Variable x gleich der Funktion mit der Variable y setzt. Kann durch Umformen die Gleichung x=y erreicht werden, ist die Funktion Injektiv, kommt es zu einem Widerspruch, ist sie es nicht. Streng Monotone Funkionen sind immer Injektiv.

Surjektiv

Surjektiv werden die jenigen Funktionen genannt, indenen alle Funktionswerte erreicht werden. Das heißt bei einer Funktion

        $f:M\rightarrow N$

werden alle Werte in der Menge N erreicht. Um dies zu Überprüfen wird die Funkion gleich y gesetzt, also zum Beispiel 2x+4=y und dann nach x aufgelöst. Erhält man wie in dem Beispiel dann eine Gleichung der Art

        $x=\frac{y-4}{2}$

, so findet sich zu jedem x-Wert ein entsprechendes y. Bei einer Funktion wie

        $f_{\left(x\right)}=x^{2}$

ist dies nicht so. Dort erhält man die Gleichung

        $x=\pm \sqrt{y}$

für alle

        $\textrm{y}\in I\! \! R^{+}$

, also nur für positive y.

Bijektiv

Eine Funktion ist Bijektiv, wenn sie Surjektiv und Injektiv ist.

Umkehrfunktion

Eine Injektive Funktion kann man umkehren, indem man die Funktion gleich y setzt und nach dieser Variablen auflöst. Das Ergebniss ist die Umkehrfunkion. Beispiel:

        $2x^{2}-3=y\: \Leftrightarrow \: x=\sqrt{\frac{y+3}{2}}$

also ist die Umkerfunktion

        $f_{\left(x\right)}^{-1}=\sqrt{\frac{y+3}{2}}$

.

Stetigkeit

Eine Funktion ist stetig in einem Punkt, wenn ihr Grenzwert in diesem Punkt gleich ihrem Funktionswert in diesem Punkt ist. Dass heisst, man muss erstens den Funktionswert ausrechen, und zweitens diesen mit dem links- bzw. rechtsseitigen Grenzwert vergleichen. Diese berechnet man in dem man jedesmal den

        $lim_{x\rightarrow x_{0}}$

ausrechnet, jedoch einmal mit

        $_{x>x_{0}}$

(rechtsseitig) und einmal mit

        $x<x_{0}$

(linksseitig). Sind alle Ergebnisse identisch, so haben wir die Stetigkeit in diesemPunkt bewiesen. Andernfalls wiederlegt.

Extrema

Ein Lokales Extrema lässt sich sehr einfach bestimmen. Die erste Ableitung gibt die Steigung in einem Punkt an, also braucht man nur nach Stellen zu suchen, an denen die Steigung gleich Null ist, um potenzielle Extrempunkte zu finden (1. Ableitung gleich Null setzen). Doch nicht jeder Nullpunkt der 1. Ableitung ist auch ein Extrema. Sattelpunkte (z.B. bei x^3 haben auch eine Steigung von Null. Um dies Auszuschliessen sollte man noch jeweils einen einfach zu berechnenden Punkt vor und hinter dem vermeintlichen Extrema mit hilfe der Funktion (nicht der Ableitung) ausrechnen. Sind nun beide Punkte kleiner bzw. grösser als der zu untersuchende Punkt, so handelt es sich um ein lokales Minimum, bzw. Maximum. Ist einer der Werte grösser und der Andere kleiner so handelt es sich nicht um ein Extrema.

Differenzierbarkeit per Definition beweisen

Das eine Funktion Differenzierbar ist, kann man beweisen indem man die Formel

        $\frac{f_{(x)}-f_{(x_{0})}}{x-x_{0}}$

mit eingesetzten Werten so weit umformt, das sich

        $\lim _{x\rightarrow x_{0}}$

anwenden lässt. Dies kann man nur machen, wenn sich kein

        $x-x_{0}$

mehr im Nenner befindet, da die Division durch Null nicht definiert ist.Nach der Anwendung des Limes erhält man die Ableitung der Funktion an der stelle

        $x_{0}$

, woraus unmittelbar die Differenzierbarkeitder Funkion folgt.

Ableiten von Funktionen

Für das Ableiten von Funktionen gibt es viele Regeln (u.a. Ketten-, Produkt-, Quotientenregel, sowie vorschriften für Summen und definierte Funktionen wie

        $\ln $

oder

        $\cos $

). Durch das konsequente anwenden dieser Vorschriften, kann selbst diekomplizierteste Ableitung gelöst werden. Allerdings gibt es noch einige Tricks, die es einfacher machen.

• Funktion ableiten, dann die mit der vorher abgeleiteten als argument und so weiter.
• abzuleitende in Klammern mit einem Strich am Schluss versehen. Ein einfaches Beispiel wäre

        $f_{(x)}=\frac{\frac{2x}{4}}{x^{3}}$

. Als erstes Schreibt man nur

        f'_{(x)}=\frac{\left(\frac{2x}{4}\right)'\cdot x^{3}-\frac{2x}{4}\cdot 3x^{2}}{\left(x^{3}\right)^{2}}$

und erst im zweiten Schritt leitet man

        $\frac{2x}{4}$

ab.

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