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Eigenschaften von Elementen

Neutrales Element

Das Neutrale Element in einer Ordnung ist jenes, welches bei einer Verknüpfung mit einem Beliebigen anderen Elementes der Ordnung Neutral Verhält. Das heißt, es verändert das Ergebiss in keiner Weise. z.B.

     $a\circ e=e\circ a=a$ 

wobei

     $e$ 

das neutrale Element ist.

Invertieren von Elementen

Ein Element ist invertierbar, wenn durch das verknüpfen dieses Elementes mit einem wohl definierten anderen das Neutrale Element entsteht. z.B.

        $a\circ a^{-1}=a^{-1}\circ a=e$

wobei

        $e$

das Neutrale Element ist, und

        $a^{-1}$

das Element, welchesmit

        $a$

Verknüpft

        $e$

ergibt.

Nullelement in Ordnungen

Ein Nullelement ist das kleineste Element in einer Ordnung. Das heisst: Verknüpft mit einem belibigen anderen Element entstehtimmer das Nullelement.

Einselement in Ordnungen

Ein Einselement ist das grösste Element in einer Ordnung. Das heisst: Verknüpft mit einem belibigen anderen Element entstehtimmer das Einselement.

Eigenschaften von Mengen

Algebraische Struktur

Eine Algebraische Struktur ist eine eine in sich Abgeschlosse Menge. Das heisst, das belibige Elemente verknüpft werden können,und das ergebiss widerum ein Element der Algebraischen Struktur ist.

Halbgruppe

Eine Halbgruppe ist eine Algebraische Struktur, mit assoziativer eigenschaft.

Monoide

Ein Monoid ist eine Halbgruppe mit neutralem Element.

Gruppen

Eine Gruppe ist eine Halbgruppe, jedoch ist jedes Element auch noch Invertierbar.

Zyklische Gruppen

Eine Zyklische Gruppe ist eine Gruppe in der jedes Element als Potenz eines einzigen bzw. seines Inversen Elementes dargestelltwerden kann. Zyklische Gruppen sind immer Kommutativ.

Eigenschaften von Gruppen

Ordnung eines Elementes in einer Gruppe

Die Ordnung

        $ord(a)$

beschreibt die Potenz mit der

        $a$

zum Neutralen Element wird. Das heisst, wie oft a mit sich selbstverknüpft werden muss, damit man das neutrale Element erhält. (also die kleinste Zahl

        $k$

mit

        $a^k=e$

.)

Ordnung der Gruppe

Die Ordnung der Gruppe bezeichnet die Anzahl ihrer Elemente.

Äquivalenzrelationen von Gruppen

In einer Gruppe kann man Äquivalenzrelationen definieren, indem man ....

KategorieInformatik KategorieMathematik KategorieAlgebraischeStrukturen